Xây dựng trường từ vành

Một vành giao hoán là một tập hợp, cùng với phép toán cộng và nhân, thỏa mãn tất cả tiên đề của trường, ngoại trừ việc tồn tại nghịch đảo phép nhân a−1.[24] Ví dụ, tập số nguyên Z tạo thành một vành giao hoán, nhưng không phải một trường: nghịch đảo của một số nguyên n không phải là một số nguyên, trừ khi n = ±1.

Trong hệ thống cấp bậc các cấu trúc đại số, trường có thể được coi là vành giao hoán R mà trong đó bất kỳ phần tử khác 0 nào đều là một đơn vị (nghĩa là chúng khả nghịch). Tương tự, trường là vành giao hoán với đúng hai ideal (ideal), (0) và R. Trường cũng là vành giao hoán mà trong đó (0) là ideal nguyên tố duy nhất.

Với một vành giao hoán R, có hai cách để xây dựng một trường liên quan đến R, hay hai cách để thay đổi R sao cho mọi phần tử khác 0 đều khả nghịch: xây dựng trường các thương và xây dựng trường thặng dư. Trường các thương của Z là các số hữu tỉ Q, còn trường thặng dư của Z là các trường hữu hạn Fp.

Trường các thương

Cho trước miền nguyên R, trường các thương Q(R) của nó được tạo từ thương số giữa hai phần tử của R giống như Q được tạo từ các số nguyên. Chính xác hơn, phần tử của Q(R) là phân số a/b với a và b thuộc R, trong đó b ≠ 0. Hai phân số a/b và c/d bằng nhau khi và chỉ khi ad = bc. Các phép toán trên phân số hoạt động giống hệt như số hữu tỉ. Ví dụ,

a b + c d = a d + b c b d . {\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.}

Không khó để chỉ ra rằng, nếu vành này là miền nguyên thì tập các thương tạo thành một trường.[25]

Trường F(x) các hàm phân thức trên một trường (hay miền nguyên) F là trường các phân thức của vành đa thức F[x]. Truòng F((x)) của chuỗi Laurent

∑ i = k ∞ a i x i   ( k ∈ Z , a i ∈ F ) {\displaystyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}x^{i}\ (k\in \mathbb {Z} ,a_{i}\in F)}

trên một trường F là trường các phân thức của vành F[[x]] của chuỗi lũy thừa hình thức (trong đó k ≥ 0). Do bất kỳ chuỗi Laurent nào là một phân số của một chuỗi lũy thừa chia cho lũy thừa của x (không như chuỗi lũy thừa bất kỳ), việc biểu diễn thành phân thức không quá quan trọng trong trường hợp này.

Trường thặng dư

Ngoài trường các thương, nhúng R bằng một đơn ánh vào một trường field, một trường có thể nhận được từ vành giao hoán R bằng một toàn ánh lên trường F. Bất kỳ trường nào nhận được bằng cách này là một vành R / m, trong đó m là ideal cực đại của R. Nếu R chỉ có một ideal cực đại m, trường này được gọi là trường thặng dư của R.[26]

Ideal sinh ra bởi một đa thức F trong vành đa thức R = E[X] (trên trường E) là cực đại khi và chỉ khi F bất khả quy trong E, tức F không thể biểu diễn thành tích của hai đa thức trong E[X] có bậc nhỏ hơn. Điều này cho ta trường

F = E[X] / (f(X)).

Trường F này chứa phần tử x (lớp thặng dư của x) thỏa mãn phương trình

f(x) = 0.

Ví dụ, C nhận được từ R bằng cách thêm đơn vị ảo i, thỏa mãn f(i) = 0 với f(X) = X2 + 1. Thêm nữa, F bất khả quy trên R, nghĩa là ánh xạ biến một đa thức f(X) ∈ R[X] thành f(i) cho ta phép đẳng cấu

R [ X ] / ( X 2 + 1 )   ⟶ ≅   C . {\displaystyle \mathbf {R} [X]/\left(X^{2}+1\right)\ {\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\ \mathbf {C} .}

Xây dựng trường từ một trường lớn hơn

Trường có thể được dựng trong một trường cho trước lớn hơn. Giả sử trường F chứa E là trường con. Với mọi phần tử x của F, tồn tại một trường con nhỏ nhất của F chứa E và x, gọi là trường con của F tạo bởi x và ký hiệu là E(x).[27] Việc chuyển từ E sang E(x) được gọi là thêm một phần tử cho E. Tổng quát, với một tập con S ⊂ F, tồn tại một trường con nhỏ nhất của F chứa E và S, ký hiệu là E(S).

Compositum của hai trường con E và E' của một trường F là trường con nhỏ nhất chứa cả E và E' . Compositum có thể dùng để dựng trường con lớn nhất của F thỏa mãn một số tính chất nào đó, ví dụ như trường con lớn nhất của F đại số trên E.[nb 3]

Mở rộng trường

Khái niệm trường con E ⊂ F cũng có thể được xem xét từ góc nhìn đối nghịch, bằng cách gọi F là một mở rộng trường (hay chỉ mở rộng) của E, ký hiệu bằng

F / E,

đọc là "F trên E".

Một thông tin cơ bản của một mở rộng trường là bậc của nó [F : E], tức là chiều của không gian vectơ F trên E. Nó thỏa mãn hệ thức[28]

[G : E] = [G : F] [F : E].

Mở rộng có bậc hữu hạn được gọi là mở rộng hữu hạn. Các mở rộng C / R và F4 / F2 có bậc là 2, còn R / Q là một mở rộng vô hạn.

Mở rộng đại số

Một khái niệm quan trọng trong việc nghiên cứu mở rộng trường F / E là phần tử đại số. Một phần tử x ∈ F gọi là đại số trên E nếu nó là nghiệm của một đa thức với hệ số thuộc E, tức là nó thỏa mãn phương trình đa thức

enxn + en−1xn−1 + ··· + e1x + e0 = 0,

với en, ..., e0 in E, và en ≠ 0. Ví dụ, đơn vị ảo i trong C là đại số trên R, thậm chí là trên Q, do nó thỏa mãn phương trình

i2 + 1 = 0.

Một mở rộng trường F / E mà trong đó mọi phần tử của F đại số trên E được gọi là mở rộng đại số. Bất kỳ mở rộng hữu hạn nào cũng là mở rộng đại số, có thể suy ra từ hệ thức bậc của mở rộng trường ở trên.[29]

Trường con E(x) sinh ra bởi phần tử x như trên, là một mở rộng đại số của E khi và chỉ khi x là một phần tử đại số. Có nghĩa là, nếu x đại số, tất cả phần tử khác của E(x) cũng là đại số. Hơn nữa, bậc của mở rộng E(x) / E, bằng với số n nhỏ nhất sao cho tồn tại một phương trình đa thức bậc n nhận xlàm nghiệm. Khi ấy các phần tử của E(x) có dạng

∑ k = 0 n − 1 a k x k ,     a k ∈ E . {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}a_{k}x^{k},\ \ a_{k}\in E.}

Ví dụ, trường Q(i) của số hữu tỉ Gauss là trường con của C bao gồm tất cả các số có dạng a + bi trong đó both a and b are số hữu tỉ: những số hạng có dạng i2 (và tương tự với số mũ cao hơn) không cần phải xem xét, do a + bi + ci2 rút gọn thành a − c + bi.

Cơ sở siêu việt

Trường phân thức E(X) nói trên không là mở rộng đại số của E do không tồn tại phương trình đa thức nào có hệ số thuộc E mà có nghiệm là X. Những phần tử không đại số, như X, được gọi là siêu việt. Nói đơn giản, ẩn X và lũy thừa của nó không tác động đến các phần tử của E. Ta có thể xây dựng tương tự với nhiều ẩn, không chỉ một.

Một lần nữa, mở rộng trường E(x) / E xét trên là một ví dụ chính: nếu x không đại số (tức x không là nghiệm của một đa thức có hệ số thuộc E), thì E(x) đẳng cấu với E(X). Đẳng cấu này được suy ra từ việc thay x vào X trong các phân thức.

Một tập con S của trường F là một cơ sở siêu việt nếu như nó độc lập đại số (không thỏa bất kỳ phương trình đa thức nào) trên E và F là mở rộng đại số của E(S). Bất kỳ mở rộng trường F / E nào cũng có một cơ sở siêu việt.[30] Do đó, mở rộng trường có thể phân thành hai dạng: E(S) / E (mở rộng siêu việt) và mở rộng đại số.

Phép toán đóng

Một trường gọi là đóng đại số nếu như nó không có mở rộng đại số nào lớn hơn thực sự, hoặc tương đương, nếu bất kì phương trình đa thức

fnxn + fn−1xn−1 + ··· + f1x + f0 = 0, với các hệ số fn, ..., f0 ∈ F, n > 0,

có nghiệm x ∈ F.[31] Theo định lý cơ bản của đại số, C là một trường đóng đại số, tức là bất kỳ phương trình đa thức với hệ số phức nào cũng có nghiệm phức. Số hữu tỉ và số thực không đóng đại số do phương trình

x2 + 1 = 0

không có nghiệm hữu tỉ hay nghiệm thực. Một trường chứa F gọi là một bao đóng đại số của F nếu nó đại số trên F (đại khái, không quá lớn so với F) và đóng đại số (đủ lớn để chứa nghiệm của tất cả phương trình đa thức).

Theo như trên, C là một bao đóng đại số của R. Trường hợp bao đóng đại số là một mở rộng hữu hạn của trường F khá đặc biệt: theo định lý Artin-Schreier, bậc của mở rộng đó phải bằng 2, và F tương đương cơ bản (elementary equivalence) với R. Những trường như thế còn gọi là trường thực đóng.

Bất kỳ trường F nào cũng có một bao đóng đại số, và nó là duy nhất theo phép đẳng cấu. Từ đó, bao đóng này thường được nhắc chung và ký hiệu là F. Ví dụ, bao đóng đại số Q của số hữu tỉ Q gọi là trường số đại số. Sự tồn tại và duy nhất của bao đóng đại số có thể được chứng minh sử dụng định lý ideal nguyên tố Boole, một tiên đề trong lý thuyết tập hợp yếu hơn tiên đề chọn.[32] Về mặt này, bao đóng đại số của Fq là hợp của tất cả trường hữu hạn chứa Fq (những trường có bậc qn). Với trường đóng đại số F đặc số 0, bao đóng đại số của trường F((t)) của chuỗi Laurent là trường các chuỗi Puiseux, tạo bởi thêm các ghiệm của t.[33]